gt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b\left(a^2+2ac+c^2\right)+ac\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+c\right)\left[b\left(a+c\right)+ac+b^2\right]=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a+b=0\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=0\\b+c=0\Rightarrow b^{2013}+c^{2013}=0\\a+c=0\Rightarrow a^{2013}+c^{2013}=0\end{matrix}\right.\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow Q=1\)

\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\)

=>\(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

=>a=-b hoặc a=-c hoặc b=-c (1)

=>a=1 hoăc b=1 hoặc c=1 (2)

từ 1 và 2 => Q=1

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

Lời giải:

Có: \(\left\{\begin{matrix} a+b+c=9\\ a^2+b^2+c^2=27\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b+c)^2=81\\ a^2+b^2+c^2=27\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=54\)

\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)=54\Leftrightarrow ab+bc+ac=27\)

Do đó: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}=0(*)\)

Ta thấy: \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0\forall a,b,c\in\mathbb{R}\)

Suy ra \((*)\) xảy ra khi và chỉ khi

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)

Khi đó: \(a=b=c=\frac{9}{3}=3\) (thỏa mãn)

\(P=(a-2)^{2015}+(b-3)^{2016}+(c-4)^{2017}=1^{2015}+0^{2016}+(-1)^{2017}\)

\(P=1+0+(-1)=0\)

cái chỗ a+c+1 la "ac+c+1" nha, mình viết nhầm

ta có: \(\frac{2013a^2bc}{ab+2013a+2013}\)= \(\frac{2013.ab.ac}{ab+ab.ac+abc}\)= \(\frac{2013.ab.ac}{ab.\left(ac+c+1\right)}\)= \(\frac{2013ac}{ac+c+1}\)

\(\frac{ab^2c}{bc+b+2013}\)= \(\frac{abc.b}{bc+b+abc}\)= \(\frac{2013b}{b\left(ac+c+1\right)}\)= \(\frac{2013}{ac+c+1}\)

\(\frac{abc^2}{ac+c+1}\)= \(\frac{abc.c}{ac+c+1}\)= \(\frac{2013c}{ac+c+1}\)

Cộng cả 3 phân thức cùng mẫu thức ta có phân thức cuối cùng là:

P=\(\frac{2013.\left(ac+c+1\right)}{ac+c+1}\)=2013

\(a+b+c=9\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=81\)

\(27=a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le81\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)

\(\Rightarrow P=1^{2015}+0^{2016}-1^{2017}=0\)

thiếu đề. (2)

`(x-1)^2>=0`